미적분학의 본질 | 3B1B, 6장

 

 

제6장: 음함수의 미분, 그 기묘한 과정

 

음함수(그늘 음, Implicit function) 한자가 더 어려운듯,,;;

변수들 간의 관계를 직접적으로 표현하지 않고, 대신에 이들 변수들이 만족해야 하는 하나 이상의 방정식으로 표현된 함수
즉, 함수가 \( y = f(x) \)와 같은 명시적인(explicit) 형태로 주어지지 않고, 대신 \( F(x, y) = 0 \)와 같은 형태로 주어지는 경우를 말합니다.

영상에서 든 예시로는 원의 방정식: \( x^2 + y^2 = r^2 \)

이 방정식은 반지름 \( r \)인 원을 내고. 두 변수 \( x \)와 \( y \)에 대해 한 조건을 만족 시키는 모든 점 (x,y)의 집합이다.

원의 방정식

접점을 지나는 반지름에 대한 수식

음함수의 미분

참고)원의 중심을 \( O(0, 0) \)라고 할 때, 반지름의 기울기는 \( \frac{y}{x} \), 접선의 기울기는 \( -\frac{x}{y} \). 두 기울기의 곱은 \( \frac{y}{x} \times -\frac{x}{y} = -1 \)이 되어, 이는 두 선이 직교함을 나타냄. 즉, 두 선의 기울기의 곱이 -1이면, 두 선은 서로 수직.

 

이것과 연관된 미적분학 문제 연관 변화율 유형의 문제 소개

사다리 문제

여기서 사다리 꼭대기가 초당 1m의 속도로 떨어지도록 벽을 미끄러져 내려간다고 했을 때

바닥과 벽 사이의 거리는 100% 사다리의 꼭대기와 바닥 사이의 거리로 결정되기 때문에 둘의 연관성을 찾아내는 것이 중요! (종속 관계)

여기에서 식은 \(x(t)^2 + y(t)^2 =5^2 \)

원래의 방식

사다리 꼭대기와 바닥 사이의 거리가 y인데 1m/s 으로 하강하기때문에 -1

원의 방정식과 사다리 문제 사이의 공통점은 연관 관계라는것, 

사다리 문제는 시간과 두 변수가 연관되어있지만 원의 방정식은 그렇지 않음.

 하지만 원의 방정식의 경우 저 방정식은 작은 변화에 따른 S의 변화를 구하는 것임.

여기서 핵심은 변화를 원 위에 있도록 제한한다면 반지름이 모두 동일해 변화량 ds는 0이 된다.

 

\(sin(x)y^2=x\)

 

음함수의 미분으로 새로운 미분법 유도