인공지능을 위한 기초수학 입문(함수, 벡터, 행렬)

x의 값들의 집합을 f의 정의역(domain), y의 값들의 집합을 f의 치역(range)

다항함수(polynomial function)

• 다항식으로부터 유도되는 함수
• \[f(x)=mx+b\]
• \[f(x)=ax^2+bx+c\]

 

유리함수(rational functions)

• 두 다항함수의 비(ratio)로 표현되는 함수
• \[y=f(x)=1/x\]

 

삼각함수(trigonometric functions)

• 삼각함수는 각의 크기에 따라 변화하는 삼각비를 나타내는 함수로 일정한 패턴이 반복되는 주기함수이다.
• \(sinx\)와 \(cosx\)의 주기는 \(2pie\)이고 y가 -1부터 1까지의 값을 취할 수 있다.
• \(tanx\)의 주기는 \(pie\)이고, y로 모든 실수 값을 취할 수 있다.(무한대)

sinx, cosx, tanh

 

지수함수(exponential fucntion)와 로그함수(logarithm)

• \[y=f(x)=a^x\]
• 지수함수는 a>1일 때 증가함수, 0<a<1일 때 감소함수
• \[y=f(x)=log_{a}x\]
• 로그함수는 밑(base)가 a이고 진수(exponent)가 x인 함수
• 로그함수는 지수함수의 역함수로 a>1일때 증가함수, 0<a<1일때 감소함수

 

 

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벡터

• \(a_1,a_2\)를 성분으로 하는 데이터 \((a_1,a_2)\)는 좌표평면 상의 한 점 A를 나타낸다. 이때 시작점을 원점 O, 끝점을 A로 하는 화살표로 나타낸 것을 벡터(vector)라고 하고  \(vec{OA} =a=(a_1,a_2)\)로 표기한다.
  그리고 벡터를 이루는 각각의 성분은 하나의 숫자로 이루어져 있는데 이를 스칼라(scalar)라고 한다.
•  
• 직사각형은 행렬(matrix), 행벡터는 1Xn 행렬, 열벡터는 nX1 행렬으로 볼 수 있음
• 3차원의 행렬은 3-D 텐서(tensor)
• 1-D tensor = vector, 2-D tensor = matrix

벡터의 연산

• 실수배(scalar multiple) 실수 k와 벡터(a,b)의 곱

• 덧셈 : 두 벡터 (a,b), (c,d)에 덧셈

행렬의 연산

• 실수배(scalar multiple) 실수 k와 벡터(a,b)의 곱

• 덧셈 : 두 벡터 (a,b), (c,d)에 덧셈

• 곱셈(product)

 

 

전치행렬(transpose matrix)

• 행렬 A의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬을 \(A^T\)로 나타낸다.
• 대각선 성분은 변하지 않고 (i,j) -> (j,i)

대각선 행렬(diagonal matrix)

• 주대각선성분 이외의 모든 성분이 0인 정사각행렬, 

단위행렬(identity matrix)

• 주대각선성분이 모두 1인 대각선 행렬 \(I_n\)
• 단위행렬은 어떤 행렬을 곱해도 같은 행렬이 나온다.
• 항등원은 연산에서 시작점 또는 기준이 되는 요소로 덧셈에서 항등원은 0, 곱셉에서 항등원은 1이다. 이 값들은 숫자와 조합해도 그 숫자를 변화시키지 않는다. 
• 항등원을 사용하면 연산의 역원도 정의할 수 있다. (역원: 어떤 연산 결과를 되돌릴 수 있는 값)
• \[I_n = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} \]

삼각행렬

• 하삼각행렬(lower triangular matrix):: 주대각선 위의 모든 성분이 0인 정사각행렬
• 상삼각행렬(upper triangular matrix): 주대각선 아래의 모든 성분이 0인 정사각행렬

대칭행렬(symmetirc matrix)

• \(A^T=A\)을 만족하는 정사각행렬
• 모든 \(a_ij = a_ji\) 성립

역행렬(inverse matirx)

• \(n \times n\) 정사각행렬 A에 대하여 다음을 만족하는 행렬 B가 존재하면 A는 가역(invertible, nonsingular)이라고 한다.
• A와 곱해서 단위행렬이 되는 B가 존재하면 A는 가역이다.

I = 단위행렬

이때 B를 A의 역행렬이라 하며, \(A^-1\)로 나타낸다. 이러한 B가 존재하지 않으면 A는 비가역(noninvertible) 또는 특이행렬(singluar matrix)이라고 한다.

 

 

 

 

 

참고

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http://www.kmooc.kr/courses/course-v1:SKKUk+SKKU_45+2023_T1/course/ 

강좌 | SKKU_45 | K-MOOC